一维非线性 Klein-Gordon 方程驻波的不稳定性

在本文中，我们考虑以下非线性 Klein-Gordon 方程 \begin{align*} \partial_{tt}u-\Delta u+u=|u|^{p-1}u,\qquad t\in \mathbb{R},\ x\in \mathbb{R}^d, \end{align*} 其中 $1<p< 1+\frac{4}{d}$。该方程具有驻波解 $u_\omega=e^{i\omega t}\phi_{\omega}$，频率 $\omega\in(-1,1)$，其中 $\phi_{\omega}$ 满足 \begin{align*} -\Delta \phi+(1-\omega^2)\phi-\phi^p=0. \end{align*} Shatah (1983) 以及 Shatah, Strauss (1985) 证明了存在一个临界频率 $\omega_c\in (0,1)$，使得当 $\omega_c<|\omega|<1$ 时驻波解 $u_\omega$ 是轨道稳定的，而当 $|\omega|<\omega_c$ 时是轨道不稳定的。此外，Ohta, Todorova (2007) 考虑了高维 $d\ge 2$ 中的临界情况 $|\omega|=\omega_c$，利用 virial 恒等式和径向 Sobolev 不等式证明了其强不稳定性。此后一维问题尚未解决。在本文中，我们考虑一维问题并证明当 $|\omega|=\omega_c$ 时它是轨道不稳定的。