一维双幂非线性薛定谔方程定常解的不稳定性

我们考虑一个双幂非线性薛定谔方程，其拥有代数衰减的定常解 $\phi_0$ 以及指数衰减的行波 $e^{i\omega t}\phi_\omega(x)$（其中 $\omega>0$）。由一般理论可知，行波的稳定性由 $\omega\mapsto M(\omega):=\frac{1}{2}\|\phi_\omega\|_{L^2}^2$ 的导数决定；即 $e^{i\omega t}\phi_\omega$（$\omega>0$）在 $M'(\omega)>0$ 时稳定，在 $M'(\omega)<0$ 时不稳定。然而，从线性化算子的谱性质视角看，定常解的稳定性/不稳定性处于一般理论之外。在本文中，我们在一维情形下证明了定常解 $\phi_0$ 在条件 $M'(0):=\lim_{\omega\downarrow 0}M'(\omega)\in[-\infty, 0)$ 下的不稳定性。证明的关键在于构造 $\omega\mapsto\phi_\omega$ 在 $\omega=0$ 处的单侧导数，这被有效地用于构造 $\phi_0$ 的不稳定方向。