双幂非线性薛定谔方程中驻波稳定与不稳定的尖锐阈值

我们研究一维双幂非线性薛定谔方程的驻波稳定性/不稳定性：\begin{align*} &i\partial_t u +\partial_x^2 u -|u|^{p-1}u +|u|^{q-1}u=0, \quad (t,x)\in \mathbb{R}\times\mathbb{R} ,~1<p<q. \end{align*} 当 $q<5$ 时，驻波 $e^{i\omega t}\phi_{\omega}$ 的稳定性性质可能随频率 $\omega$ 而改变。已有结果给出了小频率下产生不稳定性的充分条件，但尖锐条件尚属未知。本文中我们完全算出了 $\lim_{\omega\to0}\partial_{\omega}\|\phi_{\omega}\|_{L^2}^2$ 的显式公式（其本身亦独立有趣），并建立了驻波稳定与不稳定的尖锐阈值。