具有 logistic 源的抛物-椭圆-椭圆趋化系统行波解的存在性

我们研究以下趋化系统的行波解，$$\begin{cases}u_t=\Delta u-\chi_1\nabla(u\nabla v_1)+\chi_2\nabla(u\nabla v_2)+u(a-bu),\ x\in\mathbb{R}^N\ 0=\Delta v_1-\lambda_1v_1+\mu_1u,\ x\in\mathbb{R}^N,\ 0=\Delta v_2-\lambda_2v_2+\mu_2u,\ x\in\mathbb{R}^N,\end{cases}$$其中 $u(x,t)$、$v_1(x,t)$ 和 $v_2(x,t)$ 分别表示一个移动物种、一种化学吸引物和一种化学排斥物的种群密度。在早期工作中，我们证明了存在一个常数 $K\geq0$，使得若 $b+\chi_2\mu_2>\chi_1\mu_1+K$，则稳态解 $(\frac{a}{b},\frac{a\mu_1}{b\lambda_1},\frac{a\mu_2}{b\lambda_2})$ 关于正扰动是渐近稳定的。在本文中，我们证明若 $b+\chi_2\mu_2>\chi_1\mu_1+K$，则存在一个数 $c^*(\chi_1,\mu_1,\lambda_1,\chi_2,\mu_2,\lambda_2)\geq 2\sqrt a$，使得对于每一个 $c\in ( c^*(\chi_1,\mu_1,\lambda_1,\chi_2,\mu_2,\lambda_2) , \infty)$ 和 $\xi\in S^{N-1}$，系统具有一个速度为 $c$ 的行波解 $(u,v_1,v_2)=(U(x\cdot\xi-ct),V_1(x\cdot\xi-ct),V_2(x\cdot\xi-ct))$，连接常数解 $(\frac{a}{b},\frac{a\mu_1}{b\lambda_1},\frac{a\mu_2}{b\lambda_2})$ 和 $(0,0,0)$，并且该系统不存在速度小于 $2\sqrt a$ 的此类行波解。此外，我们证明$$\lim_{(\chi_1,\chi_2)\to(0^+,0^+)}c^{*}(\chi_1,\mu_1,\lambda_1,\chi_2,\mu_2,\lambda_2)=\begin{cases}2\sqrt a\ \text{若}\ a\leq \min\{\lambda_1, \lambda_2\}\ \frac{a+\lambda_1}{\sqrt{\lambda_1}}\ \text{若}\ \lambda_1\leq \min\{a, \lambda_2\}\ \frac{a+\lambda_2}{\sqrt{\lambda_2}}\ \text{若}\ \lambda_2\leq \min\{a, \lambda_1\}\end{cases},\forall \lambda_1,\lambda_2,\mu_1,\mu_2>0,$$并且$$\lim_{x\to\infty}\frac{U(x)}{e^{-\sqrt{a}\mu x}}=1,$$ 其中 $\mu$ 在区间 $(0 , \min\{1,\sqrt{\frac{\lambda_1}{a}},\sqrt{\frac{\lambda_2}{a}}\})$ 内满足 $\sqrt a(\mu+\frac{1}{\mu})=c$。