具有奇异敏感性和 Logistic 源的趋化系统中稳态解的稳定性、分岔与尖峰

在本文中，我们研究了以下具有奇异敏感性和 Logistic 源的抛物-椭圆型趋化系统正稳态解的稳定性、分岔和尖峰：\begin{cases} u_t=u_{xx}-\chi (\frac{u}{v} v_x)_x+u(a-b u), & 0<x<L, \, t>0,\cr 0=v_{xx}- \mu v+ \nu u, & 0<x<L, \, t>0 \cr u_x(t,0)=u_x(t,L)=v_x(t,0)=v_x(t,L)=0, & t>0, \tag{1} \end{cases} 其中 $\chi$, $a$, $b$, $\mu$, $\nu$ 为正常数。除其他结果外，我们证明存在 $\chi^*>0$ 和 $\{\chi_k^*\}\subset [\chi^*,\infty)$ ($\chi^*\in\{\chi_k^*\}$) 使得当 $0<\chi<\chi^*$ 时 (1) 的常数解 $(\frac{a}{b},\frac{\nu}{\mu}\frac{a}{b})$ 是局部稳定的，当 $\chi>\chi^*$ 时是不稳定的，并且在某些一般条件下，对于每个 $k\ge 1$，当 $\chi$ 经过 $\chi_k^*$ 时，(1) 的一个非定常稳态解的（局部）分支从 $(\frac{a}{b},\frac{\nu}{\mu}\frac{a}{b})$ 分岔出来，并且获得了该局部分岔分支的全局延伸。我们还证明了，对于 (1) 的任何满足 $\chi=\chi_n(\to \infty)$ 的非定常正稳态解序列 $\{(u(\cdot;\chi_n),v(\cdot;\chi_n))\}$，在满足 $\liminf_{n\to\infty} u(x^*;\chi_n)>\frac{a}{b}$ 的任何 $x^*$ 处都会形成尖峰。我们进行了一些数值分析。数值上观察到，当 $\chi$ 经过 $\chi^*$ 时从 $(\frac{a}{b},\frac{\nu}{\mu}\frac{a}{b})$ 分岔出的局部分岔分支可以延伸至 $\chi=\infty$，并且该全局分岔延伸上的稳态解在 $\chi\gg 1$ 时是局部稳定的，且在 $\chi\to\infty$ 时形成尖峰。