模拟犯罪模式形成的趋化系统中尖峰解的存在性与稳定性

本文是 Berestycki、Wei 和 Winter \cite{Berestycki2014} 一文的延续。在 \cite{Berestycki2014} 中，Short、Bertozzi 和 Brantingham \cite{Short2010} 提出的模拟犯罪模式形成的趋化系统的一类多维对称与非对称尖峰解的存在性已在一维情形得到证明。这些尖峰解的稳定性问题尚属开放。本文中，我们建立了该系统在一维和二维情形下单一径向对称尖峰解的存在性。主要困难在于处理扩散系数在核心附近变化很大的拟线性椭圆问题。我们还研究了一维和二维情形下尖峰解的线性稳定性，二者表现出完全不同的行为。在一维情形下，我们证明当反应时间比 $\tau>0$ 足够小或足够大时，尖峰解是线性稳定的。在二维情形下，当 $\tau$ 足够小时，尖峰解线性稳定；而当 $\tau$ 足够大时，尖峰解线性不稳定，并在某个 $\tau=\tau_h$ 处从尖峰解发生 Hopf 分岔。