基于局部分岔结构的肿瘤生长自由边界问题首次分岔的线性稳定性

本文研究一个带有 Robin 边界条件的三维肿瘤生长自由边界问题。该系统包含一个正参数 $\mu$，反映肿瘤侵袭性的强度。Huang、Zhang 和 Hu [Nonlinear Anal. Real World Appl. 2017(35), 483-502] 已证明，对于严格递增序列 $\{ \mu_n \}(n\geq 2)$ 中的每个 $\mu_n$（$n$ 为偶数），存在一个稳态分岔解 $(\sigma_n(\varepsilon),p_n(\varepsilon),r_n(\varepsilon))$，其中 $\mu = \mu_n(\varepsilon)$ 从 $\mu_n$ 处分岔。我们首先推导出分岔曲线 $(r_2(\varepsilon),\mu_2(\varepsilon))$ 呈现跨临界分岔，且 $\mu_2'(0)<0$。此外，我们证明稳态分岔解 $(\sigma_2(\varepsilon),p_2(\varepsilon),r_2(\varepsilon))$ 在小的 $|\varepsilon|$ 下，对于非径向对称扰动是线性不稳定的。与径向对称稳态解的线性稳定性分析相比，分岔解缺乏显式表达式，这给分析其线性稳定性带来了巨大困难。本文的创新之处在于利用分岔曲线的结构来克服上述困难。此外，由于线性化算子在特征值 0 处存在一个八维广义核，这一线性稳定性结果并非通过标准方法建立。