模拟两相肿瘤生长的自由边界问题的线性化特征值

本文研究了一个源自模拟包含两种细胞（增殖细胞和静止细胞）的肿瘤生长的自由边界问题的线性化特征值问题。该特征值问题的简化形式是一个球体内的二元一阶非局部奇异微分积分方程组，耦合单位球面上的三阶椭圆伪微分方程。一阶方程的奇异性与非局部性共同构成了该问题的主要困难。通过使用球谐函数基的傅里叶展开以及一些先前文献中发展的求解奇异微分积分方程的技术，我们证明了对于表面张力系数 $\gamma$ 存在一个零序列 $\{\gamma_k\}_{k=2}^{\infty}$，其中每一个都是线性化问题的特征值；即如果对于某个 $k\geq 2$ 有 $\gamma=\gamma_k$，则线性化问题除了标准非平凡解外还有额外的非平凡解；而如果对于所有 $k\geq 2$ 都有 $\gamma\neq\gamma_k$，则线性化问题除了标准非平凡解外没有其他非平凡解。此外，还研究了与线性化问题相关的某些线性算子在适当函数空间中的可逆性。