肿瘤生长模型自由边界问题中的扰动分析

我们研究如下自由边界问题解的存在性与多解性 $$(P)\left\{ \begin{array}{rcll} \del u &=& \lam ( \eps +(1-\eps ) H(u-\mu))~ \hspace{3mm}&\text{in}~\Omega (t)\\ u&=& \overline{u}_{\infty}~\hspace{3mm} &\text{on } ~ \partial \Omega(t) \end{array} \right.$$ 其中 $\Omega(t) \subset \RR^3$ 为 $t>0$ 时的正则区域，$\eps,~\overline{u}_{\infty},~\lambda,~\mu$ 为正参数，$H$ 为Heaviside阶跃函数。\问题(P)有两个自由边界：Ω(t)的外边界以及其演化由不连续非线性项 $H$ 隐式生成的内边界。问题(P)出现在肿瘤生长模型以及其他如气候学等背景中。首先，我们展示了当 $\Omega(t)$ 为球形区域时问题(P)的径向解的存在性与多解性，并给出了分歧图。其次，利用结合局部方法的扰动技术，我们证明了问题(P)在相应径向解附近解的存在性并刻画了其自由边界。