具营养物质与扩散的肿瘤生长自由边界正则性

本文研究一类肿瘤生长模型，其中生长由营养物质可用性驱动，肿瘤依据达西定律扩张，并带有由细胞不可压缩性产生的力学压力。我们关注肿瘤斑块在拓扑变化之外仍成立的自由边界正则性。我们分析中的一个关键要素是建立撞击时间 T 的正则性，该时间记录肿瘤斑块首次到达给定点的时刻。我们通过引入压力的哈密顿-雅可比-贝尔曼（HJB）新解释来实现这一点，这本身具有独立意义。该 HJB 结构通过将模型视为多孔介质方程（PME）的极限并基于 AB 估计的一个新变体而获得。利用 HJB 结构，我们建立了压力变量的新 Hopf-Lax 型公式。结合屏障论证，该公式使我们证明 T 是 C^{\alpha} 的，其中 \alpha 仅依赖于维数，这转化为肿瘤斑块演化的温和非退化性。基于此与障碍问题理论，我们证明肿瘤斑块边界在时空上除豪斯多夫维数至多为 $d-\alpha$ 的集合外均是正则的。在正则点集上，我们进一步证明肿瘤斑块在时空上局部 $C^{1,\alpha}$。这最终确立了边界演化中的不稳定性不会放大到任意高频。