几类含营养物的肿瘤生长模型的分析与计算：从细胞密度模型到自由边界动力学

本文中，我们研究肿瘤生长方程及营养物组分的多种模型，包括 \emph{体外} 模型与 \emph{体内} 模型。在细胞密度层面，肿瘤密度 $n$ 的空间分布由经压力 $p(n)=n^{\gamma}$ 的 Darcy 定律所支配。对有限 $\gamma$，我们证明了肿瘤生长模型的一些先验估计，如营养物密度的有界性，以及肿瘤密度的非负性与增长估计。当 $\gamma \rightarrow \infty$ 时，细胞密度模型形式收敛于 Hele-Shaw 流模型，其在不可压缩极限下决定肿瘤组织的自由边界动力学。我们导出 Hele-Shaw 流模型的若干解析解，作为肿瘤前缘传播的几何运动的基准解。最后，我们将一种守恒且保正性的数值格式应用于细胞密度模型，数值结果验证了细胞密度模型与自由边界动力学模型之间的联系。