含营养物肿瘤生长模型的自由边界极限

文献中采用可压缩与不可压缩多孔介质模型来描述活体组织的力学性质。这两类模型可通过刚性压力律相关联。在不可压缩极限下，可压缩模型生成一种 Hele-Shaw 型的自由边界问题，其中不可压缩性在饱和相中成立。此处我们考虑含营养物的情况。于是，一个坏耦合的方程组描述了细胞密度数与营养物浓度。正因如此，自由边界（不可压缩）极限的推导曾是一个开放问题，特别地，困难在于建立所谓的互补关系，以利用椭圆方程恢复压力。为建立该极限，我们用了两个新思路。第一个思路（近期也用于相关问题）是将通常的 Aronson-Bénilan $L^\infty$ 估计推广到 $L^2$ 框架。第二个思路是推导关于压力梯度的尖锐一致 $L^4$ 估计，且与空间维数无关。