具有奇异敏感性与 logistic 源的趋化系统：有界性、持续性、吸收集与整体解

本文研究如下具有奇异敏感性和 logistic 源的抛物-椭圆趋化系统，\begin{equation} \begin{cases} u_t=\Delta u-\chi\nabla\cdot (\frac{u}{v} \nabla v)+u(a(t,x)-b(t,x) u), & x\in \Omega,\cr 0=\Delta v- \mu v+ \nu u, & x\in \Omega, \cr \frac{\partial u}{\partial n}=\frac{\partial v}{\partial n}=0, & x\in\partial\Omega, \end{cases} \end{equation} 其中 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ 是光滑有界域，$a(t,x)$ 和 $b(t,x)$ 为正的光滑函数，$\chi$、$\mu$ 和 $\nu$ 为正常数。在最近的文章 [25] 中，我们证明了对于给定的非负初始函数 $0\not\equiv u_0\in C^0(\bar \Omega)$ 和 $s\in\mathbb{R}$，只要 $a_{\inf}=\inf_{t\in\mathbb{R},x\in\Omega}a(t,x)$ 相对于 $\chi$ 较大且 $u_0$ 不小，(0.1) 具有唯一整体定义的经典解 $(u(t,x;s,u_0),v(t,x;s,u_0))$，且满足 $u(s,x;s,u_0)=u_0(x)$。本文在 $a_{\inf}$ 相对于 $\chi$ 较大且 $u_0$ 不小的假设下，进一步研究 (0.1) 整体定义正解的定性性质。其中，我们对某些 $p>0$ 和 $q>\max\{2,N\}$ 给出了 $\int_\Omega u^{-p}$ 和 $\int_\Omega u^q$ 的一些具体估计，并证明任意整体定义正解最终被某个与其初始函数无关的正常数上下界住。我们证明存在一个（在 $L^q$ 中的）"矩形"型有界不变集，它最终吸引所有整体定义正解。我们还证明 (0.1) 具有一个正整体经典解 $(u^*(t,x),v^*(t,x))$，当 $a(t,x)$ 和 $b(t,x)$ 关于 $t$ 周期时其关于 $t$ 周期，当 $a(t,x)$ 和 $b(t,x)$ 与 $t$ 无关时其独立于 $t$。