一类具有生长源和非线性分泌的趋化系统

本文关注一类抛物-椭圆趋化系统，包含原型 $$\left\{\begin{array}{lll} &u_t = \nabla\cdot(\nabla u-\chi u\nabla v)+f(u), & x\in \Omega, t>0, \\[0.2cm] &0= \Delta v -v+u^\kappa, & x\in \Omega, t>0 \end{array}\right.$$ 在光滑有界域 $\Omega\subset \mathbb{R}^n(n\geq 2)$ 中具有 $u$ 的非负初始条件和齐次 Neumann 边界条件，其中 $\chi>0$, $\kappa>0$ 且 $f$ 是满足 $f(0)\geq 0$ 和 $$f(s)\leq a-bs^\theta, \quad s\geq 0, \text{with some} a\geq 0, b>0, \theta>1.$$ 的光滑生长源。首先，证明了在以下任一条件下：$$\kappa<\frac{2}{n}\quad \& \quad f\equiv 0,$$ 或 $$\theta>\kappa+1,$$ 或 $$\theta-\kappa=1, \ \ b\geq \frac{(\kappa n-2)}{\kappa n}\chi, \eqno(*)$$ 相应的初值问题存在唯一的在空间和时间上一致有界的经典解。我们的证明是初等的且不使用半群。同时，在特定选择 $\theta=2$ 和 $\kappa=1$ 时，Tello 和 Winkler \cite{TW07} 使用通过 Neumann 热半群的复杂估计获得了在 ($\ast$) 中严格不等式下的全局有界性。因此，在这方面我们将他们的结果改进到“临界”情况 $b=(\kappa n-2)/(\kappa n)\chi$。其次，对于无界范围的 $\chi$，证明了该系统表现出模式形成，并且当 $\chi\rightarrow \infty$ 时，出现的模式在 $L^\theta(\Omega)$ 中弱收敛到某些常数。然而，对于小的 $\chi$ 或大阻尼 $b$，确切地说，如果对于某些 $a, b>0$ 有 $f(u)=u(a-bu^\kappa)$ 且 $b>2\chi$，我们证明了该系统不允许模式形成，并且解的大时间行为与其相关的 ODE+代数系统相当。