具有外部信号产生的Keller-Segel系统的有界性

我们研究在光滑有界域 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ ($n\geq2$) 中，带有 $f\in\text{L}^\infty\left([0,\infty);\text{L}^{\frac{n}{2}+\delta_0}(\Omega)\right)\cap C^\alpha(\Omega\times(0,\infty))$ (其中某些 $\alpha>0$ 和 $\delta_0\in\left(0,1\right)$) 的趋化系统 \begin{align*} \left\{\begin{array}{c@{\,}l@{\quad}l@{\,}c} u_{t}&=\Delta u-\nabla\!\cdot(u\nabla v),\ &x\in\Omega,& t>0,\\ v_{t}&=\Delta v-v+u+f(x,t),\ &x\in\Omega,& t>0,\\ \frac{\partial u}{\partial\nu}&=\frac{\partial v}{\partial\nu}=0,\ &x\in\partial\Omega,& t>0,\\ u(x,0)&=u_{0}(x),\ v(x,0)=v_{0}(x),\ &x\in\Omega& \end{array}\right. \end{align*} 的诺伊曼初边值问题。首先我们证明了对于相当正则的初始值局部经典解的存在性。随后我们表明，在 $n=2$ 且 $f$ 关于时间恒定的情况下，要求非负初始数据 $u_0$ 满足 $\smallint_{\Omega} u_0\text{d} x<4\pi$ 可确保解整体存在且关于时间一致有界。由此我们将Nagai、Senba和Yoshida针对经典Keller-Segel模型(与上述系统中 $f\equiv 0$ 一致)的著名临界质量结果推广到 $f\not\equiv 0$ 的情形。在对初始数据和 $f$ 施加某些小性条件下，我们进一步证明对于更一般的空间维数 $n\geq2$ 以及 $f$ 未必关于时间恒定，解也是整体存在且关于时间一致有界的。据此我们将Winkler给出的经典Keller-Segel系统的一个已知结果推广到当前情形。