具有间接信号产生的趋化模型中无限时间聚集的临界质量

我们研究单位圆盘$\Omega:=B_1(0)\subset \R^2$中趋化系统 $$\left\{\begin{array}{ll} u_t= \Delta u - \nabla \cdot (u\nabla v), & x\in \Omega, \, t>0, 0=\Delta v - \mu(t)+w, & x\in \Omega, \, t>0, \tau w_t + \delta w = u, & x\in \Omega, \, t>0, \end{array} \right. \qquad \qquad (\star)$$ 的Neumann初边值问题，其中$\delta\ge 0$和$\tau>0$是给定参数，$\mu(t):=\mint_\Omega w(x,t)dx$, $t>0$。结果表明，该问题在奇点形成方面表现出一种新型的临界质量现象，这与经典Keller-Segel系统（通过形式上取$\tau\to 0$得到）众所周知的阈值性质截然不同，因为它指的是无限时间爆破而非有限时间爆破：具体来说，首先证明对于任何足够正则的非负初始数据$u_0$和$w_0$，($\star$)拥有唯一的全局经典解。特别地，这表明与反映细胞自身立即分泌信号的经典Keller-Segel型系统形成鲜明对比，($\star$)中的间接信号产生机制完全排除了任何有限时间爆破的发生。然而，在径向对称解的框架内，接下来证明每当$\delta>0$且$\io u_0<8\pi\delta$时，解保持一致有界，而对于任何$\delta\ge 0$和$m>8\pi\delta$的选择，都可以找到初始数据使得$\io u_0=m$，并且对于相应的解，我们有 \bas \|u(\cdot,t)\|_{L^\infty(\Omega)} \to \infty \qquad \mbox{当} t\to\infty。