具有信号依赖敏感性与本质次线性产生的 Keller-Segel 系统的可解性

本文考虑在 $\mathbb{R}^2$ 的光滑有界区域 $\Omega$ 中的零通量趋化系统 \begin{equation*} \begin{cases} u_{t}=\Delta u-\nabla \cdot (u \chi(v)\nabla v) & \textrm{in}\quad \Omega\times (0,\infty), \\ 0=\Delta v-v+g(u) & \textrm{in}\quad \Omega\times (0,\infty),\\ \end{cases} \end{equation*} 其中趋化敏感性 $\chi$ 是取自 $C^1((0,\infty))$ 的一般非负函数，而化学信号 $v$ 的产生项 $g$ 属于 $C^1([0,\infty))$ 并满足对所有 $s\geq 0$、$0\leq\beta\leq \frac{1}{2}$ 与 $0<\lambda_1\leq \lambda_2$ 有 $\lambda_1\leq g(s)\leq \lambda_2(1+s)^\beta$。我们证明了细胞分布 $u$ 不会发生趋化坍缩，即任意非负且充分正则的初始数据 $u(x,0)$ 均产生唯一一对整体且有界的函数 $(u,v)$，其经典地求解相应的初边值问题。最后，我们通过数值模拟说明了该趋化系统内存在的动力学范围。