具有 logistic 增长和信号依赖运动性的 Keller-Segel 系统

本文研究如下具有非线性运动函数的趋化系统 \begin{equation}\label{0-1}\tag{$\ast$} \begin{cases} u_t=\nabla \cdot (\gamma(v)\nabla u- u\chi(v)\nabla v)+\mu u(1-u), &x\in \Omega, ~~t>0, \\ 0=\Delta v+ u-v,& x\in \Omega, ~~t>0,\\ u(x,0)=u_0(x), & x\in \Omega, \end{cases} \end{equation} 该系统在具有光滑边界的有界区域 $\Omega\subset \R^2$ 中配备齐次 Neumann 边界条件，其中运动性函数 $\gamma(v)$ 和 $\chi(v)$ 满足以下条件：\begin{itemize} \item {\color{black}$(\gamma,\chi)\in [C^2[0,\infty)]^2$}，且 $\gamma(v)>0$，同时 {\color{black} $\frac{|\chi(v)|^2}{\gamma(v)}$ 对所有 $v\geq 0$ 有界。} \end{itemize} 通过运用能量估计方法，我们证明了对于任意 $u_0 \in W^{1, \infty}(\Omega)$，当 $\mu>0$ 时，\eqref{0-1} 存在全局有界解。然后，基于一个 Lyapunov 函数，我们证明只要 $\mu>\frac{K_0}{16}$（其中 $K_0=\max\limits_{0\leq v \leq \infty}\frac{|\chi(v)|^2}{\gamma(v)}$），\eqref{0-1} 的所有解 $(u,v)$ 都将指数收敛到唯一的常数稳态解 $(1,1)$。