带弱降解与密度相关运动的化学趋化系统全局吸引子

本文研究了如下化学趋化系统，包含弱降解和非线性迁移函数\n\begin{equation}\label{Model1} \begin{cases} u_{t} = (\gamma(v)u)_{xx} + r - \mu u, & x \in [0,L],\ t > 0,\\ v_{t} = v_{xx} - v + u, & x \in [0,L],\ t > 0, \end{cases} \end{cases}\n定义在有界区间 $[0,L]$ 上，采用齐次 Neumann 边界条件。迁移函数 $\gamma(v)$ 满足正则性条件 $\gamma \in C^{2}[0,\infty)$，且对所有 $v \geq 0$ 都有 $\gamma(v) > 0$，且具有有界的对数导数，即 $\sup_{v\geq 0} \frac{|\gamma'(v)|^{2}}{\gamma(v)} < \infty$。我们的主要结果确立了该系统的三个基本性质。首先，利用能量估计方法，我们证明了对于所有正参数 $r, \mu > 0$ 以及非负、非平凡初始数据 $u_{0} \in W^{1,\infty}([0,L])$，系统存在全局有界解。其次，通过构造合适的 Lyapunov 函数，我们证明所有解 $(u,v)$ 在参数区间 $\mu > \frac{H_{0}}{16}$ 下指数收敛于唯一的常数平衡 $(r/\mu, r/\mu)$，其中 $H_{0} := \sup_{v \geq 0} \frac{|\gamma'(v)|^{2}}{\gamma(v)}$ 量化了迁移函数的最大相对变化。最后，我们给出数值结果，不仅验证了理论发现，还探讨了在二维和三维域中不同参数配置和初始条件下的解的长期行为，为未来的研究提供了宝贵的基准。