具密度抑制迁移率的图案形成动力学模型的全局存在性

本文考虑如下图案形成动力学模型经典解的全局存在性 \begin{equation} \begin{cases} u_t=\Delta (\gamma (v)u)+\mu u(1-u) -\Delta v+v=u \end{cases} \qquad (0.1) \end{equation} 在光滑有界区域 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$, $n\geq1$ 中,具无通量边界条件。此处 $\mu\geq0$ 为任意给定常数。函数 $\gamma(\cdot)$ 表示信号依赖的扩散迁移率,且关于 $v$ 递减,其通过自捕获机制对条纹图案形成过程中的密度抑制迁移率建模 [8,20]。分析中的主要困难在于当 $v\nearrow+\infty$ 时扩散可能退化。在本文中,基于对非线性结构的精细观察,我们发展了一种新方法,对所有满足 $\gamma(v)>0$ 且 $\gamma'(v)\leq0$ ($v\geq0$) 的光滑迁移率函数,在任何空间维数下排除有限时间退化。进而我们证明了 (0.1) 在二维情形下对任意 $\mu\geq0$ 的经典解全局存在性。此外,若 $1/\gamma$ 满足某多项式增长条件或 $\mu>0$,则证明全局解是一致有界的。另外,我们特别关注 $\gamma(v)=e^{-v}$ 且 $\mu=0$ 的特定情形。我们观察到二维情形下的一种新颖临界现象:在我们的模型中爆破发生于无限时间而非有限时间。