弱奇异灵敏性和Logistic动力学下的抛物-椭圆型化学趋化系统解的长期行为：有界性、持久性、稳定性

本文讨论了具有弱奇异灵敏性和Logistic来源的抛物-椭圆型化学趋化竞争系统的正解的长期行为：\n\n\begin{equation} \label{abstract-eq} \begin{cases} u_t=\Delta u-\chi \nabla\cdot (\frac{u}{v^{\lambda}} \nabla v) +ru- \mu u^2, \quad &x\in \Omega,\cr 0=\Delta v- \alpha v +\beta u,\quad &x\in \Omega, \cr \frac{\partial u}{\partial \nu}=\frac{\partial v}{\partial \nu}=0,\quad &x\in\partial\Omega, \end{cases}\, \end{cases}\n\n其中，$\Omega \subset \mathbb{R}^N (N \ge 2)$ 为光滑有界域，参数$\chi,\, r, \, \mu, \, \alpha,\,\beta$ 为正常数，$\lambda \in (0,1).$ 在本文中，对于所有足够光滑的初始数据 $u_0\in C^0(\bar\Omega)$ 且 $u_0 \not \equiv 0,$ 已证明：首先，在$\mu > \mu_1^*(p,\lambda,\chi,\beta)$ 时，任何全局定义的正解在 $L^p(\Omega)$ 中有界，其中 $p \ge 2.$ 接着，在$\mu > \mu_2^*(N,\lambda,\chi,\beta)$ 时，任何全局定义的经典解全局有界。第三，在$\mu > \mu_3^*(N,\lambda,\chi,\beta)$ 时，任何全局定义的正解最终在由与初始函数 $u_0$ 无关的正数常数上均有界。最后，在$\mu > \mu_4^*(N,\lambda,\chi,\alpha,\beta,r,\Omega)$ 时，任何全局有界的经典解对系统 (0.1) 指数收敛于常数稳态 $(\frac{r}{\mu},\frac{\beta}{\alpha}\frac{r}{\mu}).$