具有 logistic 源项的趋化-流体系统的长期行为

我们考虑带有 logistic 源项的耦合趋化- Navier-Stokes 模型\n$$n_t + u\cdot \nabla n = \Delta n - \chi \nabla \cdot (n \nabla c) + \kappa n - \mu n^2$$ \n$$c_t + u\cdot \nabla c = \Delta c - nc$$ \n$$u_t + (u\cdot \nabla)u = \Delta u +\nabla P + n\nabla \Phi + f, \quad\qquad \nabla \cdot u=0$$ \n在具有光滑边界的有界区域 $\Omega\subset \mathbb{R}^3$ 中，对 $n$ 和 $c$ 施加齐次 Neumann 边界条件，对 $u$ 施加齐次 Dirichlet 边界条件，并给定函数 $f\in L^\infty(\Omega\times(0,\infty))$ 满足一定衰减条件，以及 $\Phi\in C^{1+\beta}(\bar\Omega)$（其中 $\beta\in(0,1)$）。我们构造了弱解，并证明在一段等待时间后它们变得光滑，并最终收敛到半平凡稳态 $(\frac{\kappa}{\mu},0,0)$。