非常温和的扩散增强与奇异灵敏性：二维化学趋化-Navier--Stokes 系统中有界弱解的存在性

我们考虑二维化学趋化-Navier--Stokes 系统的初始-边界问题：\n\begin{align*}\n\left\{\n\begin{array}{c@{\quad}l@{\quad}l@{\,}c}\nn_{t}+u\cdot\nabla n=\nabla\cdot\big(D(n)\nabla n-nS(x,n,c)\cdot\nabla c\big),\ &x\in\Omega,& t>0,\\\nc_{t}+u\cdot\nabla c=\Delta c-cn,\ &x\in\Omega,& t>0,\\\nu_{t}+(u\cdot\nabla)u=\Delta u+\nabla P+n\nabla\Phi,\quad \nabla\cdot u=0,\ &x\in\Omega,& t>0,\\\n\big(D(n)\nabla n-nS(x,n,c)\cdot\nabla c\big)\cdot\nu=\nabla c\cdot\nu=0,\ u=0,\ &x\in\partial\Omega,& t>0,\\\nn(\cdot,0)=n_0,\ c(\cdot,0)=c_0,\ u(\cdot,0)=u_0,\ &x\in\Omega.\n\end{array}\right.\n\end{align*}\n在光滑边界域 $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ 中。假设 $S:\overline{\Omega}\times[0,\infty)\times(0,\infty)\rightarrow \mathbb{R}^{2\times 2}$ 足够光滑且满足当 $\gamma\in[0,\frac56]$ 和某个非减函数 $S_0:(0,\infty)\to(0,\infty)$ 时，有\n\begin{align*}\n\big|S(x,n,c)\big|\leq \frac{S_0(c)}{c^\gamma}\quad\text{for all }(x,n,c)\in\overline{\Omega}\times[0,\infty)\times(0,\infty),\n\end{align*}\n我们证明，如果 $D:[0,\infty)\to[0,\infty)$ 足够光滑且在 $(0,\infty)$ 中为正，则对所有 $M>0$ 都可以找到 $L(M)>0$ 使得当\n$\liminf_{n\to\infty} D(n)>L$ 且 $\liminf_{n\searrow0}\frac{D(n)}{n}>0$\n满足且初始数据 $(n_0,c_0,u_0)$ 足够光滑且满足 $\|c_0\|_{L^{\infty}(\Omega)}\leq M$ 时，上述初始-边界问题存在全局有界弱解。若 additionally 假设 $D(0)>0$，则该解也是同一问题的经典解。