研究带非线性扩散与旋转的 $3D$ 趋化-Stokes 系统局部有界整体解的一种新方法

我们考虑一个在聚集项中带有旋转的退化拟线性趋化-Stokes 型方程，\begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} n_t+u\cdot\nabla n=\Delta n^m-\nabla\cdot(nS(x,n,c)\cdot\nabla c),\quad x\in \Omega, t>0, c_t+u\cdot\nabla c=\Delta c-nc, x\in \Omega, t>0,\\ u_t+\nabla P=\Delta u+n\nabla \phi ,x\in \Omega, t>0,\\ \nabla\cdot u=0, x\in \Omega, t>0, \end{array}\right. \end{equation} 其中 $\Omega\subseteq \mathbb{R}^3$ 是具有光滑边界的有界凸区域。这里 $S\in C^2(\bar{\Omega}\times[0,\infty)^2;\mathbb{R}^{3\times3})$ 是一个矩阵，满足 $s_{i,j}\in C^1( \bar{\Omega} \times [0, \infty)\times[0, \infty))$。此外，对于所有 $(x,n,c)\in \bar{\Omega} \times [0, \infty)\times[0, \infty)$，$|S(x,n,c)| \leq S_0(c)$，其中 $S_0(c)$ 在 $[0,\infty)$ 上非减。如果 $$m>\frac{9}{8},$$ 那么对于所有 reasonably regular 初始数据，$(0.1)$ 的相应初边值问题存在整体定义的弱解 $(n,c,u)$。此外，对于任意固定的 $T > 0$，该解在 $\Omega\times (0,T)$ 中是有界的，即对于某个 $C(T) > 0$，$$\|u(\cdot,t)\|_{L^\infty(\Omega)} +\|c(\cdot,t)\|_{W^{1,\infty}(\Omega)}+\|n(\cdot,t)\|_{L^\infty(\Omega)} \leq C ~~\mbox{for all}~~ t\in(0,T)$$ 成立。