奇异趋化-Stokes系统广义解的最终光滑性

我们研究趋化-流体系统\begin{align*} \left\{ \begin{array}{r@{\,}c@{\,}c@{\,}l@{\quad}l@{\quad}l@{\,}c} n_{t}&+&u\cdot\!\nabla n&=\Delta n-\nabla\!\cdot(\frac{n}{c}\nabla c),\ &x\in\Omega,& t>0, c_{t}&+&u\cdot\!\nabla c&=\Delta c-nc,\ &x\in\Omega,& t>0, u_{t}&+&\nabla P&=\Delta u+n\nabla\phi,\ &x\in\Omega,& t>0, &&\nabla\cdot u&=0,\ &x\in\Omega,& t>0, \end{array}\right. \end{align*} 在$n$和$c$的齐次Neumann边界条件以及$u$的齐次Dirichlet边界条件下，其中$\Omega\subset\mathbb{R}^2$是具有光滑边界的有界区域，$\phi\in C^{2}\left(\bar{\Omega}\right)$。根据近期结果，对于适当正则的初始数据，相应的初边值问题存在全局广义解。我们将证明，对于小的初始质量$\int_{\Omega}\!n_0$，这些广义解最终将成为系统的经典解，并满足某些渐近性质。此外，通过对研究最终正则性过程中出现的某些能量型不等式的分析，我们还将推导出在$n_0$在$L^1\!\left(\Omega\right)$和$L\log L\!\left(\Omega\right)$中的大小、$u_0$在$L^4\!\left(\Omega\right)$中的大小以及$\nabla c_0$在$L^2\!\left(\Omega\right)$中的大小满足某些小性条件时，经典解全局存在的结果。