具有奇异敏感性与 logistic 源的二维趋化–Navier–Stokes 系统的渐近剖面

在具有光滑边界的有界域 $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ 中考虑趋化–Navier–Stokes 系统 \begin{equation*}\label{0.1} \left\{\begin{array}{ll} n_t+u\cdot \nabla n=\triangle n-\chi\nabla\cdotp \left(\displaystyle\frac n {c}\nabla c\right)+n(r-\mu n), c_t+u\cdot \nabla c=\triangle c-nc, u_t+ (u\cdot \nabla) u=\Delta u+\nabla P+n\nabla\phi, \nabla\cdot u=0, \end{array}\right. \end{equation*}，其中 $\phi\in W^{1,\infty}(\Omega)$，$\chi>0$，$r\in \mathbb{R}$ 且 $\mu> 0$ 为给定参数。结果表明存在一值 $\mu_*(\Omega,\chi, r)\geq 0$，使得只要 $\mu>\mu_*(\Omega,\chi, r)$，该系统整体经典解关于 $x\in \Omega$ 一致有界。此外，对 $r>0$ 情形，$(n,c,\frac {|\nabla c|}c,u)$ 在 $L^\infty(\Omega)\times L^\infty(\Omega)\times L^p(\Omega)\times L^\infty(\Omega)$ 中对于任意 $p>1$ 当 $t\rightarrow \infty$ 时指数收敛于 $(\frac r \mu,0,0,0)$，而在 $r=0$ 情形，$(n,c,\frac {|\nabla c|}c,u)$ 在 $(L^\infty(\Omega))^4$ 中代数收敛于 $(0,0,0,0)$。据我们所知，这些结果首次给出了二维中解渐近剖面的精确信息。