$\mathbb{R}^N$ 上具有时空依赖 logistic 源的抛物-椭圆趋化性模型。III. 过渡波前

当前工作是三篇系列论文中的第三篇，致力于研究时空依赖 logistic 源趋化性系统的渐近动力学，$$\begin{cases} \partial_tu=\Delta u-\chi\nabla\cdot(u\nabla v)+u(a(x,t)-b(x,t)u),\quad x\in R^N,\cr 0=\Delta v-\lambda v+\mu u ,\quad x\in R^N, \end{cases} (0.1)$$其中 $N\ge 1$ 为正整数，$\chi, \lambda$ 和 $\mu$ 为正常数，函数 $a(x,t)$ 和 $b(x,t)$ 为正且有界。在系列第一篇中，我们研究了解的持续现象与渐近传播。在第二篇中，我们考察了严格正整体解的存在性、唯一性与稳定性。在本系列当前部分，我们讨论在空间齐次 logistic 源情形下，(0.1) 连接 $(0,0)$ 与 $(u^*(t),v^*(t))$ 的过渡波前解的存在性。我们证明，对于每一个满足 $\chi\mu\big(1+\frac{\sup_{t\in R}a(t)}{\inf_{t\in R}a(t)}\big)<\inf_{t\in R}b(t)$ 的 $\chi>0$，存在正常数 $c^{*}_{\chi}$，使得对每一个 $\underline{c}>c^{*}_{\chi}$ 和每一个单位向量 $\xi$，(0.1) 具有形如 $(u(x,t),v(x,t))=(U(x\cdot\xi-C(t),t),V(x\cdot\xi-C(t),t))$ 的过渡波前解，满足对某数 $\kappa>0$ 有 $C'(t)=\frac{a(t)+\kappa^2}{\kappa}$，$\liminf_{t-s\to\infty}\frac{C(t)-C(s)}{t-s}=\underline{c}$，且 $$\lim_{x\to-\infty}\sup_{t\in R}|U(x,t)-u^*(t)|=0 \quad \text{和}\quad \lim_{x\to\infty}\sup_{t\in R}|\frac{U(x,t)}{e^{-\kappa x}}-1|=0.$$此外，我们证明 (0.1) 不存在连接 $(0,0)$ 与 $(u^*(t),v^*(t))$ 且最小平均速度小于 $2\sqrt{\underline{a}}$ 的过渡波前解 $(u(x,t),v(x,t))=(U(x\cdot\xi-C(t),t),V(x\cdot\xi-C(t),t))$，其中 $\underline{a}=\liminf_{t-s\to\infty}\frac{1}{t-s}\int_{s}^{t}a(\tau)d\tau$。