$\mathbb{R}^N$ 上具时空依赖 Logistic 源的抛物-椭圆趋化模型 I：持久性与渐近扩散

本系列三篇论文关注以下趋化模型的渐近动力学：$$\partial_tu=\Delta u-\chi\nabla(u\nabla v)+u(a(x,t)-ub(x,t))\ ,\ 0=\Delta v-\lambda v+\mu u \ \ (1)$$其中 $\chi, \lambda, \mu$ 为正常数，$a(x,t)$ 与 $b(x,t)$ 为正且有界。在本系列的第一篇中，我们研究持久性与渐近扩散。在对参数的某些显式条件下，我们证明 (1) 对每个 $t_0\in R$ 与每个 $u_0\in C^{b}_{\rm unif}(R^N)$, $u_0\geq 0$ 存在唯一的非负时间全局经典解 $(u(x,t;t_0,u_0),v(x,t;t_0,u_0))$ 且满足 $u(x,t_0;t_0,u_0)=u_0(x)$。接着我们证明逐点持久性现象，即对 (1) 的任何具有严格正初始函数 $u_0$ 的解 $(u(x,t;t_0,u_0),v(x,t;t_0,u_0))$，有$$0<\inf_{t_0\in R, t\geq 0}u(x,t+t_0;t_0,u_0)\le\sup_{t_0\in R, t\geq 0} u(x,t+t_0;t_0,u_0)<\infty$$并证明一致持久性现象，即存在 $0<m<M$ 使得对任何严格正初始函数 $u_0$，存在 $T(u_0)>0$ 使得$$m\le u(x,t+t_0;t_0,u_0)\le M\ \forall\,t\ge T(u_0),\ x\in R^N.$$然后我们讨论了 (1) 的具有紧支撑初始函数的解的扩散性质，并证明存在正常数 $0<c_{-}^{*}\le c_{+}^{*}<\infty$ 使得对每个 $t_0\in R$ 与每个 $u_0\in C^b_{\rm unif}(R^N), u_0\ge 0$ 且具有非空紧支撑，有$$\lim_{t\to\infty}\sup_{|x|\ge ct}u(x,t+t_0;t_0,u_0)=0,\ \forall c>c_+^*,$$且$$\liminf_{t\to\infty}\sup_{|x|\le ct}u(x,t+t_0;t_0,u_0)>0,\ \forall 0<c<c_-^*.$$我们还讨论了 (1) 的具有波前型初始函数的解的扩散性质。在本系列的第二篇与第三篇中，我们将分别研究严格正整体解的存在性、唯一性与稳定性，以及过渡波前（transition fronts）的存在性。