$\mathbb{R}^{N}$ 上带 Logistic 源的吸引-排斥趋化系统中的全局经典解、常数平衡态稳定性与扩散速度

我们考虑以下趋化系统 $$\begin{cases}u_t=\Delta u-\chi_1\nabla(u\nabla v_1)+\chi_2\nabla(u\nabla v_2)+u(a-bu),\ \ x\in\mathbb R^N,t>0,\0=(\Delta-\lambda_1I)v_1+\mu_1u,\ \ x\in\mathbb R^N,t>0,\0=(\Delta-\lambda_2I)v_2+\mu_2u,\ \ \text{in}\ x\in\mathbb R^N,\ t>0,\u(\cdot,0)=u_0,\ \ x\in\mathbb R^N,\end{cases}$$ 其中 $\chi_i,\ \lambda_i,\ \mu_i,\ i=1,2$ 和 $a,\ b$ 为正实数常数，$N$ 为正整数。在参数的某些条件下，我们证明了对于非负、有界且一致连续的初始条件 $u_0(x)$，经典解 $(u(x,t;u_0),v_1(x,t;u_0),v_2(x,t;u_0))$ 的全局存在性与有界性。接下来，我们证明对于每个严格正的初始条件 $u_0(x)$，$$\lim_{t\to\infty}\left[\|u(\cdot,t;u_0)-\frac{a}{b}\|_{\infty}+\|\lambda_1v_1(\cdot,t;u_0)-\frac{a}{b}\mu_1\|_{\infty}+\|\lambda_2v_2(\cdot,t;u_0)-\frac{a}{b}\mu_2\|_{\infty}\right]=0.$$ 最后，我们探讨了全局解的扩散性质，并证明存在两个正数 $0<c^*_-(\chi_1,\mu_1,\lambda_1,\chi_2,\mu_2,\lambda_2)<c^*_+(\chi_1,\mu_1,\lambda_1,\chi_2,\mu_2,\lambda_2)$，使得对于每个具有非空紧支撑的非负初始条件 $u_0(x)$，当 $0\leq c<c^*_-(\chi_1,\mu_1,\lambda_1,\chi_2,\mu_2,\lambda_2)$ 时，$$\lim_{t\to\infty}\left[\sup_{|x|\leq{ct}}|u(x,t;u_0)-\frac{a}{b}|+\sup_{|x|\leq ct}|\lambda_1v_1(x,t;u_0)-\frac{a}{b}\mu_1|+\sup_{|x|\leq ct}|\lambda_2v_2(x,t;u_0)-\frac{a}{b}\mu_2|\right]=0,$$ 且当 $c>c^*_+(\chi_1,\mu_1,\lambda_1,\chi_2,\mu_2,\lambda_2)$ 时，$$\lim_{t\to\infty}\left[\sup_{|x|\geq ct}|u(x,t;u_0)|+\sup_{|x|\geq ct} | v_1(x,t;u_0)|+\sup_{|x|\geq ct}|v_2(x,t;u_0)|\right]=0.$$ 此外，我们证明了 $$\lim_{(\chi_1,\chi_2)\to(0,0)}c^*_-(\chi_1,\mu_1,\lambda_1,\chi_2,\mu_2,\lambda_2)=\lim_{(\chi_1,\chi_2)\to(0,0)}c^*_+(\chi_1,\mu_1,\lambda_1,\chi_2,\mu_2,\lambda_2)=2\sqrt{a}.$$