$\mathbb{R}^{N}$ 上具有 logistic 源的抛物-抛物趋化模型的传播速度

本文研究 $\mathbb{R}^{N}$ 上如下具有 logistic 源的抛物-抛物趋化模型（chemotaxis model）的传播速度，\begin{equation} \begin{cases} u_t=\Delta u-\chi\nabla\cdot ( u\nabla v) + u(a-bu),\quad x\in\mathbb{R}^{N},\cr {v_t}=\Delta v -\lambda v+\mu u,\quad x\in \mathbb{R}^{N}. \end{cases}(1) \end{equation} 其中 $\chi, \ a,\ b,\ \lambda,\ \mu$ 为正常数。假设 $b>\frac{N\mu\chi}{4}$。其中证明了 $2\sqrt{a}$ 是 (1) 具有非空紧支撑初值函数的整体经典解的传播速度，即 $$\lim_{t\to\infty}\sup_{|x|\geq ct}u(x,t;u_0,v_0)=0\quad \forall\,\, c>2\sqrt{a}$$ 且 $$\liminf_{t\to\infty}\inf_{|x|\leq ct}u(x,t;u_0,v_0)>0 \quad \forall\,\, 0<c<2\sqrt{a}.$$ 其中 $(u(x,t;u_0,v_0), v(x,t;u_0,v_0))$ 是 (1) 以 $u(x,0;u_0,v_0)=u_0$、$v(x,0;u_0,v_0)=v_0$ 为初值的唯一整体经典解，且 ${\rm supp}(u_0)$、${\rm supp}(v_0)$ 非空且紧。众所周知，$2\sqrt{a}$ 是如下 Fisher-KPP 方程的传播速度，$$u_t=\Delta u+u(a-bu),\quad \forall\,\ x\in\mathbb{R}^{N}.$$ 因此，若 $b>\frac{N\mu\chi}{4}$，趋化作用既不会加速也不会减缓 Fisher-KPP 方程中的空间传播。