趋化作用会加速还是减缓带 logistic 源的抛物-椭圆 Keller-Segel 系统的空间传播？

本文研究如下 Keller-Segel 趋化吸引系统的空间传播速度与最小波速，\begin{equation}\label{abstract-eq1} \begin{cases} u_t=u_{xx}-\chi(uv_x)_x +u(a-bu),\quad x\in\R\cr 0=v_{xx}- \lambda v+\mu u,\quad x\in\R, \end{cases} \end{equation} 其中 $\chi$、$a$、$b$、$\lambda$ 和 $\mu$ 为正常数。假设 $b>\chi\mu$。则若再有 $\big(1+\frac{1}{2}\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{\lambda})_+}{(\sqrt{a}+\sqrt{\la})}\big)\chi\mu { \leq} b$ 成立，可证 $c_0^*=2\sqrt a$ 为具有非空紧支集的非负连续初值函数 $u_0$ 的 \eqref{abstract-eq1} 解之传播速度，即 $$\limsup_{|x|\ge ct, t\to\infty}u(t,x;u_0)=0\quad \forall\, c>c_0^*$$ 且 $$\liminf_{|x|\le ct,t\to\infty} u(t,x;u_0)>0\quad \forall \, 0<c<c_0^*,$$ 其中 $(u(t,x;u_0),v(t,x;u_0))$ 为 \eqref{abstract-eq1} 以 $u(0,x;u_0)=u_0(x)$ 为初值的唯一整体经典解。还证明了若 $b>2\chi\mu$ 且 $\lambda \geq a$ 成立，则 $c_0^*=2\sqrt a$ 为 \eqref{abstract-eq1} 连接 $(0,0)$ 与 $(\frac{a}{b},\frac{\mu}{\lambda}\frac{a}{b})$ 的行波解最小速度，即对任意 $c\ge c_0^*$，\eqref{abstract-eq1} 有速度为 $c$ 连接 $(0,0)$ 与 $(\frac{a}{b},\frac{\mu}{\lambda}\frac{a}{b})$ 的行波解，而速度小于 $c_0^*$ 的此类行波解不存在。注意 $c_0^*=2\sqrt a$ 也是如下 Fisher-KPP 方程的空间传播速度与最小波速，\begin{equation} \label{abstract-eq2} u_t=u_{xx}+u(a-bu),\quad x\in\R. \end{equation}