Keller-Segel系统中的快信号扩散极限

本文研究抛物-抛物Keller-Segel系统 $$(u_\lambda)_t = \Delta u_\lambda - \chi \nabla \cdot (u_\lambda \nabla v_\lambda), \quad \lambda (v_\lambda)_t = \Delta v_\lambda - v_\lambda + u_\lambda \quad \mbox{in} \ \Omega\times (0,\infty)$$ 的解在 $\lambda \searrow 0$ 时向抛物-椭圆Keller-Segel系统 $$u_t = \Delta u - \chi \nabla \cdot (u \nabla v), \quad 0= \Delta v -v +u \quad \mbox{in} \ \Omega\times (0,\infty)$$ 的解的收敛性，其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$（$n\ge 2$）中具有光滑边界的有界域，$\chi, \lambda>0$ 为常数。在趋化系统中，抛物-椭圆系统常为抛物-抛物系统的方法与结果提供一些指导。然而，关于抛物-椭圆系统与抛物-抛物系统之间关系的结果尚不丰富。亦即，除某些情形外，以下问题仍有待分析：当 $\lambda \searrow 0$ 时，抛物-抛物系统的解是否收敛到抛物-椭圆系统的解？在 $\Omega$ 为全空间 $\mathbb{R}^n$，或 $\Omega$ 为有界域且 $\chi$ 为强信号敏感性的情形中，先前工作已给出一些肯定回答。因此，人们可以期望在有界域 $\Omega$ 中的Keller-Segel系统在某些情形下该问题也有肯定答案。本文在二维及高维Keller-Segel系统中给出了一些肯定回答。