具强信号敏感性的趋化系统中快信号扩散极限

本文首次对建立抛物-抛物信号依赖型趋化系统与其抛物-椭圆版本之间的数学桥梁给出了见解。更确切地说，本文研究具强信号敏感性的抛物-抛物趋化系统解 $$(u_\lambda)_t = \Delta u_\lambda - \nabla \cdot (u_\lambda \chi(v_\lambda)\nabla u_\lambda), \quad \lambda (v_\lambda)_t = \Delta v_\lambda - v_\lambda +u_\lambda \quad \mbox{in} \ \Omega\times (0,\infty)$$ 到抛物-椭圆趋化系统 $$u_t = \Delta u -\nabla \cdot (u\chi(v)\nabla v), \quad 0= \Delta v -v +u \quad \mbox{in} \ \Omega\times (0,\infty),$$ 解的收敛性，其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ ($n\in\mathbb{N}$) 中具有光滑边界的有界域，$\lambda>0$ 为常数，$\chi$ 是推广了 $$\chi(v) = \frac{\chi_0}{(1+v)^k} \quad (\chi_0>0,\ k>1)$$ 的函数。在趋化系统中，抛物-椭圆系统常为抛物-抛物系统的方法与结果提供指引。然而，抛物-椭圆系统与抛物-抛物系统之间的关系尚未被研究。亦即，以下问题仍有待分析：当 $\lambda \searrow 0$ 时，抛物-抛物系统的解是否收敛到抛物-椭圆系统的解？本文在具强信号敏感性的趋化系统中给出了一些肯定的回答。