关于具有依赖于梯度的趋化系数的抛物-椭圆系统

我们考虑一个带有趋化项的二阶抛物-椭圆型偏微分方程组。该系统描述了生物种群 "$u$" 在 $\mathcal{R}^N$ 中有界开域内朝化学物质刺激 "$v$" 更高浓度运动的演化。在所考虑的系统中,趋化敏感度依赖于 $v$ 的梯度,即趋化项具有以下表达式 $$- div \left(\chi u |\nabla v|^{p-2}\nabla v \right),$$ 其中 $\chi$ 为正常数且 $p$ 满足 $$p \in (1, \infty), \quad \mbox{ 若 } N=1 \quad \mbox{ 且 } \quad p\in \left(1, \frac{N}{N-1}\right), \quad \mbox{ 若 } N\geq 2.$$ 我们得到了解在 $L^{\infty}(\Omega)$ 中关于时间的一致界。对于一维情形,我们证明了对于任意正的 $\chi$ 和给定正质量,当 $p\in (1,2)$ 时存在无穷多个非常数稳态解。