高维抛物-抛物 Keller-Segel 系统中的有限时间爆破

我们研究了全抛物型 Keller-Segel 系统的 Neumann 初边值问题：u_t=\Delta u - \nabla \cdot (u\nabla v), \qquad x\in\Omega, \ t>0, [1mm] v_t=\Delta v-v+u, \qquad x\in\Omega, \ t>0, 其中 $\Omega$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ ($n\ge 3$) 中的一个球。证明了对任意给定的 $m>0$，存在径向对称的正初始数据 $(u_0,v_0) \in C^0(\bar\Omega) \times W^{1,\infty}(\Omega)$ 且 $\int_\Omega u_0=m$，使得相应的解在有限时间内爆破。此外，通过提供一个本质上显式的爆破判据，表明在所有径向函数空间中，此类导致爆破的初始数据集合在适当意义下是大的；特别地，该集合在 $L^p(\Omega) \times W^{1,2}(\Omega)$ 拓扑下对任意 $p \in (1,\frac{2n}{n+2})$ 是稠密的。