logistic 型抛物-椭圆 Keller-Segel 系统化学趋向坍缩的放宽参数条件

我们研究带非线性扩散与 logistic 源的抛物-椭圆 Keller-Segel 系统两个变体中的有限时间爆破。在 $n$ 维球中，我们考虑 \begin{align*} \begin{cases} u_t = \nabla \cdot ((u+1)^{m-1}\nabla u - u\nabla v) + \lambda u - \mu u^{1+\kappa}, \\ 0 = \Delta v - \frac1{|\Omega|} \int_\Omega u + u \end{cases} \tag{JL} \end{align*} 与 \begin{align*} \begin{cases} u_t = \nabla \cdot ((u+1)^{m-1}\nabla u - u\nabla v) + \lambda u - \mu u^{1+\kappa}, \\ 0 = \Delta v - v + u, \end{cases}\tag{PE} \end{align*} 其中 $\lambda$ 与 $\mu$ 为给定的空间径向非负函数，$m, \kappa > 0$ 为受进一步条件约束的给定参数。在统一处理中，我们在上述两系统中先前用于爆破检测的方法与较新的解逐点上估计结果间建立桥梁，进而利用此新联系，给出导致三维及以上空间维中有限时间爆破解存在的扩展参数范围 $m,\kappa$。特别地，对常数 $\lambda, \mu > 0$，我们发现若存在初值使 (JL) 爆破，当 \begin{alignat*}{2} 0 \leq \kappa &< \min\left\{\frac{1}{2}, \frac{n - 2}{n} - (m-1)_+ \right\}&&\qquad\text{if } m\in\left[\frac{2}{n},\frac{2n-2}{n}\right)\\ \text{ or }\quad 0 \leq \kappa&<\min\left\{\frac{1}{2},\frac{n-1}n-\frac{m}2\right\} &&\qquad \text{if } m\in\left(0,\frac{2}{n}\right), \end{alignat*} 且使 (PE) 爆破当 $m \in [1, \frac{2n-2}{n})$ 且 \begin{align*} 0 \leq \kappa < \min\left\{\frac{(m-1) n + 1}{2(n-1)}, \frac{n - 2 - (m-1) n}{n(n-1)} \right\}. \end{align*}