具 logistic 源的拟线性抛物-椭圆 Keller-Segel 系统的有限时间爆破

本文研究具 logistic 源的拟线性抛物-椭圆 Keller-Segel 系统，\begin{align*} u_t=\Delta (u+1)^m - \chi \nabla \cdot (u(u+1)^{\alpha - 1} \nabla v) + \lambda(|x|) u - \mu(|x|) u^\kappa, \quad 0=\Delta v - v + u, \quad x\in\Omega,\ t>0, \end{align*} 其中 $\Omega:=B_{R}(0)\subset\mathbb{R}^n\ (n\ge3)$ 是某个 $R>0$ 的球； $m>0$、 $\chi>0$、 $\alpha>0$ 且 $\kappa\ge1$； $\lambda$ 与 $\mu$ 是空间径向非负函数。关于此问题，Winkler（Z. Angew. Math. Phys.; 2018; 69; Art. 69, 40）在 $m=\alpha=1$ 时找到了解有限时间爆破的 $\kappa$ 条件。在 $m=1$ 且 $\alpha\in(0,1)$ 以及 $\lambda$ 和 $\mu$ 为常数的情形，先前论文（Math. Methods Appl. Sci.; 2020; 43; 7372-7396）给出了爆破发生的 $\alpha$ 与 $\kappa$ 的若干条件。此外，在 $m\ge1$ 且 $\alpha=1$ 的情形，Black、Fuest 和 Lankeit（arXiv:2005.12089[math.AP]）证明了在某些 $m$ 与 $\kappa$ 条件下存在使解有限时间爆破的初始数据。本文旨在给出 $m\ge1$、 $\alpha>0$ 且 $\kappa\ge1$ 时解有限时间爆破的条件。