具有高维logistic源项的拟线性完全抛物型Keller-Segel系统的有界性

本文研究高维拟线性抛物-抛物型 Keller-Segel 系统，其带有一类 logistic 型源项 $u_t=\nabla\cdot(\phi(u)\nabla u)-\chi\nabla\cdot(u\nabla v)+g(u)$, $\tau v_t=\Delta v-v+u$ 在 $\Omega\times (0,T)$ 中，具有非负初始数据和齐次 Neumann 边界条件，其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ ($n\ge 2$) 中光滑有界区域，$\phi$ 和 $g$ 是光滑正函数，满足当 $s\ge s_0>1$ 时 $ks^p\le\phi$，且对 $s>0$ 有 $g(s) \le as - \mu s^2$，其中 $g(0)\ge0$，常数 $a\ge 0$，$\tau,\chi,\mu>0$。已知无 logistic 源的模型存在有界与无界解，由临界指数 $\frac{2}{n}$ 区分。另一方面，该模型正是 logistic 阻尼与聚集效应相平衡的临界情形，其解的性质应由所涉及的系数决定。本文证明存在 $\theta_0>0$，使得当 $\frac{\chi}{\mu}<\theta_0$ 时，无论初始数据与扩散大小如何，该问题均存在全局有界经典解。这显示了 logistic 源对解行为的实质性影响。