一类具有生态学解释且因梯度非线性而有界性的 Keller-Segel 型趋化模型

我们在具有生态学动机的 Keller-Segel 型趋化模型中引入了一种新颖的基于梯度的阻尼项，并考虑具有以下齐次 Neumann 边界条件的系统：\begin{equation} \begin{cases} u_t= \Delta u - \chi \nabla \cdot (u \nabla v)+a u^\alpha-b u^\beta-c|\nabla u|^\gamma,\\ \tau v_t=\Delta v-v+u .\\ \end{cases} \end{equation} 该问题在 $\mathbb{R}^N$ 中有界光滑区域 $\Omega$ 中给出，其中 $N\geq 2$，且对某些正数 $a,b,c,\chi>0$、$\tau \in \{0,1\}$、$\gamma\geq 1$、$\beta>\alpha\geq 1$。据我们所知，具有梯度依赖源的 Keller-Segel 模型在文献中是新的，因此，除了给出合理的生态学解释外，本文的目标有两个：1.) 对通过以 $f(u)-g(\nabla u)$ 替换 $a u^\alpha-b u^\beta-c|\nabla u|^\gamma$ 而得到的上述问题的广义模型类，提供关于局部存在性与可延拓判据的严格分析；2.) 建立关于问题本身数据的充分条件，使其容许唯一的经典解 $(u,v)$，且 $T_{max}=\infty$ 并且 $u$ 和 $v$ 均有界。对于 1.)，我们考虑适当正则的初始分布 $u(x,0)=u_0(x)\geq 0$、$\tau v(x,0)=\tau v_0(x)\geq 0$，且 $f$ 和 $g$ 满足某些正则性性质以及某些增长限制时予以处理。此外，对于 2.)，在前一情形所考虑的相同初始数据下，只要 $\frac{2N}{N+1}<\gamma\leq 2$，就证明了对于任意 $\tau\in \{0,1\}$ 解的全局有界性。