一类具有次线性排斥与超线性聚集的全抛物 Keller-Segel 模型的有界性

本文研究一个具有非线性产生与趋化因子的全抛物趋化模型。问题在有界域上提出，并且依据与此类产生和趋化因子相关的系数之间的特定相互作用，我们确立相应的初边值问题存在唯一的经典解，且该解在时间上一致有界。确切地说，我们研究这个零通量问题 \begin{equation}\label{problem_abstract} \tag{$\Diamond$} \begin{cases} u_t= \Delta u - \nabla \cdot (f(u) \nabla v) & \text{ in } \Omega \times (0,T_{max}),\\ v_t=\Delta v-v+g(u) & \text{ in } \Omega \times (0,T_{max}),\\ \end{cases} \end{equation} 其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$（ $n\geq 2$ ）中有界光滑域， $f(u)$ 与 $g(u)$ 为适当正则的函数，分别推广原型 $f(u)=u^\alpha$ 与 $g(u)=u^l$ （其中适当的 $\alpha, l>0$ ）。在证明任意足够光滑的 $u(x,0)=u_0(x)\geq 0, \, v(x,0)=v_0(x)\geq 0$ 产生问题 \eqref{problem_abstract} 的唯一经典非负解 $(u,v)$ （定义于 $\Omega \times (0,T_{max})$ ， $T_{max}$ 表示最大存在时间）之后，我们确立对任意 $l\in (0,\frac{2}{n})$ 与 $\frac{2}{n}\leq \alpha<1+\frac{1}{n}-\frac{l}{2}$ ，有 $T_{max}=\infty$ 且 $u$ 与 $v$ 实际上在时间上一致有界。本文延续 Horstmann 与 Winkler 的贡献，并推广了 Liu 与 Tao 的结果。事实上，在前一工作中证明了对于 $g(u)=u$ ，值 $\alpha=\frac{2}{n}$ 是该模型的临界爆破解指数；而在后一工作中，对于 $f(u)=u$ （对应 $\alpha=1$ ），在假设 $0<l<\frac{2}{n}$ 下展示了解的有界性。