高维趋化-消耗模型中若干更尖锐的有界性条件

对于经典的零通量趋化-消耗模型 \begin{equation*} u_t= \Delta u - \chi \nabla \cdot (u \nabla v) \quad \textrm{and}\quad v_t=\Delta v- uv, \quad \text{ with } (x,t)\in \Omega \times (0,T_{max}), \end{equation*} 其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中有界光滑区域，$n\geq 3$，$\chi$ 为某正数且 $T_{max} \in (0,\infty]$，Tao在一篇论文中建立了如下结论：对每一组充分正则的初始数据 $u(x,0)=u_0(x)\geq 0$ 和 $v(x,0)=v_0(x) \geq 0$，存在 $\chi(\lVert v_0 \rVert_{L^\infty(\Omega)})$ 使得对所有 $0<\chi\leq \chi(\lVert v_0 \rVert_{L^\infty(\Omega)})$，该初边值问题在 $\Omega \times (0,\infty)$ 中有唯一有界经典解。本文在 $n\geq 5$ 时，对更大的常数 $\chi(\|v_0\|_{L^{\infty}(\Omega)})$ 取值也得到了相同结论。