消耗型趋化吸引物与产生型趋化排斥物趋化系统中的有界性

我们研究如下零通量吸引-排斥趋化模型，其中趋化排斥物具有线性与超线性产生 $g$，趋化吸引物具有次线性速率 $f$：\begin{equation}\label{problem_abstract} \tag{$\Diamond$} \begin{cases} u_t= \Delta u - \chi \nabla \cdot (u \nabla v)+\xi \nabla \cdot (u \nabla w) & \text{ in } \Omega \times (0,T_{max}),\\ v_t=\Delta v-f(u)v & \text{ in } \Omega \times (0,T_{max}),\\ 0= \Delta w - \delta w + g(u)& \text{ in } \Omega \times (0,T_{max}). %u(x,0)=u_0(x), \; v(x,0)=v_0(x) & x \in \bar\Omega. \end{cases} \end{equation} 在此问题中，$\Omega$ 是 $\R^n$ 中有界光滑域，$n\geq 1$，$\chi,\xi,\delta>0$，$f(u)$ 与 $g(u)$ 为适当正则的函数，推广了原型 $f(u)=K u^\alpha$ 与 $g(u)=\gamma u^l$，其中 $K,\gamma>0$ 且适当的 $\alpha, l>0$。在指明任意充分光滑的 $u(x,0)=u_0(x)\geq 0$ 与 $v(x,0)=v_0(x)\geq 0$ 均产生 \eqref{problem_abstract} 在 $\Omega \times (0,T_{max})$ 上定义的唯一经典非负解 $(u,v,w)$ 后，我们确立：对任意此类 $(u_0,v_0)$，寿命 $\TM=\infty$ 且 $u, v, w$ 在 $\Omega\times (0,\infty)$ 中一致有界，(i) 当 $l=1$，$n\in \{1,2\}$，$\alpha\in (0,\frac{1}{2}+\frac{1}{n})\cap (0,1)$ 且任意 $\xi>0$，(ii) 当 $l=1$，$n\geq 3$，$\alpha\in (0,\frac{1}{2}+\frac{1}{n})$ 且 $\xi$ 大于依赖于 $\chi \lVert v_0 \rVert_{L^\infty(\Omega)}$ 的某一量，(iii) 当 $l>1$ 任意 $\xi>0$，且任意维数设定。最后，通过将此处针对线性产生情形导出的结果与 \cite{LankeitWangConsumptLogistic} 中的结果比较，提出了关于 logistic 与排斥作用对趋化现象影响的指示性分析。