吸引-排斥趋化系统爆破时间的显式下界

本文研究零通量吸引-排斥趋化系统 \begin{equation}\label{ProblemAbstract} \tag{$\Diamond$} \begin{cases} u_{ t}=\Delta u -\chi \nabla \cdot (u\nabla v)+\xi \nabla \cdot (u\nabla w) & \textrm{in }\Omega\times (0,t^*), \ 0=\Delta v+\alpha u-\beta v & \textrm{in } \Omega\times (0,t^*),\ 0=\Delta w+\gamma u-\delta w & \textrm{in } \Omega\times (0,t^*),\ \end{cases} \end{equation} 的经典解，其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^2$ 中的光滑有界域，$t^*$ 为爆破时间，$\alpha,\beta,\gamma,\delta,\chi,\xi$ 为正实数。由文献可知，在上述参数适当相互作用且初始数据 $u({\bf x},0)=u_0\in C^0(\bar{\Omega})$ 满足合适小性假设下，系统 \eqref{ProblemAbstract} 具有唯一的经典解，该解在 $t\nearrow t^*$ 时变为无界。本研究的主要结果是给出 $t^*$ 的显式下界，该下界以 $\int_\Omega u_0^2 d{\bf x}$ 表示，并借助基于常微分不等式的成熟技术得到。