非线性化学趋化性扩散-消耗系统中的有界性与有限时间 blow-up

本文研究了扩散-消耗系统\n\begin{align}\tag{($\star$)} \left\{ \begin{array}{ll} u_t=\Delta u+\nabla \cdot(S(u) \nabla v), \tau v_t=\Delta v-u v, \end{array} \right\end{align}\n在球 $B_R(0) \subset \mathbb R^n$ 中的无通量/Dirichlet 边界条件下。当 $\tau=\{0,1\}$ 且 $0<S(u)\leqslant K(1+u)^{\beta}$ 对 $u \geqslant 0$ 成立，其中 $\beta \in (0,\frac{n+2}{2n})$ 和 $K>0$，我们证明给定任意径向对称初始数据，该问题 ($\star$) 具有全局有界经典解。反之，当 $\tau=0$，$n=2$ 且 $S(u) \geqslant k u^{\beta}$ 对 $u \geqslant 0$ 成立，其中 $\beta>1$ 和 $k>0$，对于给定初始数据 $u_0$，存在常数 $M^{\star}=M^{\star}\left(u_0\right)>0$，使得当边界信号水平 $M \geqslant M^{\star}$ 时，对应的径向对称解在有限时间内 blow-up。我们的结果可与 [J. Ahn 和 M. Winkler, Calc. Var. 64 (2023).] 以及 [Y. Wang 和 M. Winkler, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 153 (2023).] 中的结果相比较，其中作者分别将系统 ($\star$) 的第一个方程替换为 $u_t=\nabla \cdot ((1+u)^{-\alpha} \nabla u)+\nabla \cdot(u \nabla v)$ 和 $u_t=\nabla \cdot ((1+u)^{-\alpha} \nabla u)+\nabla \cdot(\frac{u}{v} \nabla v)$。在其他方面，他们在 $u_0(x)$ 和边界信号水平的某些条件下，得到当 $\alpha>0$ 时存在经典解 blow-up 的结果。