拟线性完全抛物型 Keller--Segel 系统中的爆破剖面

我们研究球 $\Omega \subset \mathbb R^n$（$n \ge 2$）中 \n\begin{align} \label{prob:star} \tag{$\star$} \begin{cases} u_t = \nabla \cdot (D(u, v) \nabla u - S(u, v) \nabla v), v_t = \Delta v - v + u \end{cases} \end{align}\n的有限时间爆破解 $(u, v)$，其中 $D$ 与 $S$ 推广了函数\n\begin{align*} D(u, v) = (u+1)^{m-1} \quad \text{and} \quad S(u, v) = u (u+1)^{q-1} \end{align*}\n（$m, q \in \mathbb R$）。我们证明：若 $m \gt \frac{n-2}{n}$ 且 $m-q \gt -\frac1n$，并且 $(u, v)$ 是 \eqref{prob:star} 的非负径向对称经典解且在 $T_{\textrm{max}} \lt \infty$ 处爆破，则存在所谓的爆破剖面 $U \colon \Omega \setminus \{0\} \to [0, \infty)$ 满足\n\begin{align*} u(\cdot, t) \to U \quad \text{in $C_{\textrm{loc}}^2(\bar \Omega \setminus \{0\})$ as $t \nearrow T_{\textrm{max}}$}. \end{align*}\n此外，对所有满足\n\begin{align*} \alpha \gt \frac{n(n-1)}{(m-q)n + 1} \end{align*}\n的 $\alpha \gt n$，可找到 $C \gt 0$ 使得对所有 $x \in \Omega$ 有\n\begin{align*} U(x) \le C |x|^{-\alpha}. \end{align*}