一类非变分半线性抛物系统爆破解的构造与稳定性

我们考虑如下非线性无梯度结构的抛物系统：$$\left\{\begin{array}{ll} \partial_t u = \Delta u + |v|^{p-1}v, \quad & \partial_t v = \mu \Delta v + |u|^{q - 1}u,\\ u(\cdot, 0) = u_0, \quad & v(\cdot, 0) = v_0, \end{array}\right.$$ 在整空间 $\mathbb{R}^N$ 中，其中 $p, q > 1$ 且 $\mu > 0$。我们证明存在初值使得该系统的对应解仅在一点 $a$ 同时以 $u$ 和 $v$ 爆裂于有限时间 $T(u_0, v_0)$，遵循如下渐近动力学：$$\left\{\begin{array}{c} u(x,t)\sim \Gamma\left[(T-t) \left(1 + \dfrac{b|x-a|^2}{(T-t)|\log (T-t)|}\right)\right]^{-\frac{(p + 1)}{pq - 1}},\\ v(x,t)\sim \gamma\left[(T-t) \left(1 + \dfrac{b|x-a|^2}{(T-t)|\log (T-t)|}\right)\right]^{-\frac{(q + 1)}{pq - 1}}, \end{array}\right.$$ 其中 $b = b(p,q,\mu) > 0$ 且 $(\Gamma, \gamma) = (\Gamma(p,q), \gamma(p,q))$。该构造依赖于将问题约化为有限维问题，并基于指标理论的拓扑论证得出结论。证明中出现两个主要困难：围绕轮廓的线性化算子甚至在非自伴情形 $\mu = 1$ 下也不是自伴的；以及 $\mu \ne 1$ 的情形破坏了问题中的任何对称性。在最后一节，通过对爆裂参数的几何解释（其维数等于有限维问题的维数），我们能够展示这些爆裂行为关于初值扰动的稳定性。