一类大初值一维拟线性严格双曲组光滑解爆破机制研究

对于一阶一维 $n\times n$ 拟线性严格双曲组 $\partial_tu+F(u)\partial_xu=0$，初值 $u(x, 0)=\varepsilon u_0(x)$，其中 $\varepsilon>0$ 很小，$u_0(x)\not\equiv 0$ 且 $u_0(x)\in C_0^2(\mathbb R)$，当 $F(u)$ 至少有一个特征值为真正非线性时，众所周知在有限爆破时间 $T_{\varepsilon}$ 上，导数 $\partial_{t,x}u$ 发生爆破而解 $u$ 始终保持很小。对于一维标量方程或 $2\times 2$ 严格双曲组（对应 $n=1, 2$），若光滑解 $u$ 在有限时间内爆破，则其爆破机制可被很好地理解（即仅发生 $\partial_{t,x}u$ 的爆破）。本文针对一类大初值的 $n\times n$（$n\geq 3$）严格双曲组，关注光滑解 $u$ 在有限爆破时间上的爆破机制以及 $\partial_{t,x}u$ 在爆破点附近的详细奇性态。我们的结果基于 $u$ 沿不同特征方向的有效分解、调制坐标的恰当引入以及全局加权能量估计。