光滑初值下一阶双曲型守恒律多维激波的形成与构造

本文研究一阶守恒律 $\partial_t u+\partial_x F(u)+\partial_y G(u)=0$ 在光滑初值 $u_0(x,y)$ 下多维激波的形成与构造问题。众所周知，当 $H(\xi,\eta)=\partial_{\xi}(F'(u_0(\xi,\eta)))+\partial_{\eta}(G'(u_0(\xi,\eta)))$ 满足 $\min{H(\xi,\eta})<0$ 时，光滑解 $u$ 将在时刻 $T^*=-\frac{1}{\min{H(\xi,\eta)}}$ 发生爆破，更确切地说，仅一阶导 $\nabla_{t,x,y}u$ 在 $t=T^*$ 爆破，而 $u$ 本身直至 $t=T^*$ 仍连续。在 $H(\xi,\eta)$ 的泛非退化条件下，我们构造了 $t\ge T^*$ 的局部弱熵解 $u$，该解在激波曲面 $\Sigma$ 两侧并非一致 Lipschitz 连续。所构造激波的初始爆破曲线 $\Gamma$ 上强度为零，并在 $t>T^*$ 时逐渐增强。此外，在 $\Gamma$ 的邻域内，给出了解 $u$ 奇性的若干细致而精确的描述。