拟线性波动方程中的激波形成

本文致力于研究三维拟线性波动方程\n\begin{equation}\label{Main Equation} - \big(1+3G^{\prime\prime}(0) (\partial_t\phi)^2\big)\partial^2_t \phi +\Delta\phi=0,\tag{\textbf{$\star$}} \end{equation}\n其中 $G^{\prime\prime}(0)$ 为非零常数。我们将展示一族光滑初值，并证明入射特征超曲面的叶状结构崩溃。类似于一维守恒律，我们称这种特定类型的光滑解破裂为激波形成。由于 $(\star)$ 满足经典零条件，它对小数据存在整体光滑解。因此，我们将处理大数据（在能量范数下）。此外，对初值不施加任何对称条件。我们在证明中强调激波形成的几何视角。更具体地，关键思想是研究以下两个对象的相互作用：(1) $(\star)$ 线性化方程的能量估计；(2) 洛伦兹度量 $g=-\dfrac{1}{\left(1+3G^{\prime\prime}(0) (\partial_t\phi)^2\right)} d t^2+dx_1^2+dx_2^2+dx_3^2$ 的微分几何。事实上，对特征超曲面（意味着激波形成）的研究即是对 $g$ 的零超曲面的研究。证明中的技术受文献 \cite{Ch-Shocks} 的启发，该文献建立了三维相对论可压缩 Euler 方程小初值下激波的形成。我们还使用了短脉冲方法，该方法在文献 \cite{Ch-BlackHoles} 研究广义相对论中黑洞形成时引入，并在 \cite{K-R-09} 中推广。