小数据解下$3D$拟线性波动方程中的激波形成

D. Christodoulou 在其 2007 年的专著中证明了一项突破性结果，详细描述了三维空间相对论 Euler 方程解中激波的形成。他假设数据具有小的$H^N$范数，其中$N$是足够大的整数。为了推导激波形成，他还假设数据满足一个带符号的积分不等式。在本专著中，我们扩展了 Christodoulou 的框架，并利用它证明激波奇点经常在三维空间中两类重要拟线性波动方程的初始小正则解中发展。我们的工作也推广并统一了由 F. John 在 20 世纪 70 年代发起，并由 L. H\"ormander、S. Alinhac 及许多其他人继续的关于奇点形成的早期工作。具体而言，我们研究了：i) 形式为$\square_{g(\Psi)} \Psi = 0$的协变标量波动方程，以及 ii) 形式为$(h^{-1})^{\alpha \beta}(\partial \Phi) \partial_{\alpha} \partial_{\beta} \Phi = 0$的非协变标量波动方程。我们的主要结果表明，只要非线性项不满足 Klainerman 的经典零条件，激波就会在源自小数据开集的解中形成。因此，在类 i) 和 ii) 中，我们的工作可被视为 Christodoulou 和 Klainerman 著名结果的尖锐逆命题，后者表明当验证经典零条件时，小数据全局存在性成立。